Tutoriel : cycle selle de Möbius : doublement de période et valeurs propres négatives#

Ce tutoriel démontre un point fixe topologiquement intéressant : un cycle selle de Möbius, où la matrice de monodromie DPm possède des valeurs propres négatives (\(\lambda_u = -e^{+1/3}\), \(\lambda_s = -e^{-1/3}\)).

Sens physique :
Après une période toroïdale complète (\(m=1\) tour), un petit déplacement change de signe en s’étirant/se contractant. Il ne retrouve son orientation initiale qu’après deux tours : une topologie de type ruban de Möbius dans le fibré tangent local.

Cela diffère du point X ordinaire (avec valeurs propres positives) et s’appelle parfois un point fixe inverse-hyperbolique ou à période doublée.

Ce que vous apprendrez :

  1. Comment des points selles à valeurs propres négatives apparaissent dans les cartes de Poincaré

  2. Comment utiliser evolve_DPm_along_cycle pour confirmer le signe des valeurs propres

  3. Comment visualiser la géométrie des variétés stable/instable en 3D : elles forment une bande demi-tordue (ruban de Möbius) autour du tore

1. Construction du champ : point fixe de Möbius m=1 en (R₀, Z₀)#

Le cas le plus simple : un point fixe unique de la carte à un tour en \((R_0, Z_0)\) avec valeurs propres \(\lambda_u = -e^{+1/3}\) et \(\lambda_s = -e^{-1/3}\).

Les directions propres tournent de \(\pi\) à chaque tour (dθ/dφ = 1/2), donc après un tour \(\theta \to \theta + \pi\) : les vecteurs propres se retournent, d’où le caractère de Möbius.

[1]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# ── Point fixe and field parameters ────────────────────────────────────────
R0, Z0 = 1.0, 0.0
BPhi0 = 2.5
m = 1  # one-turn fixed point

# Negative eigenvalues  →  Möbius / inverse-hyperbolique character
lam_u = -np.e ** (1/3)
lam_s = -np.e ** (-1/3)
print(f"λ_u = {lam_u:.6f}")
print(f"λ_s = {lam_s:.6f}")
print(f"λ_u · λ_s = {lam_u * lam_s:.10f}  (devrait être +1 for carte préservant l’aire)")
print(f"Après 2 tours: λ_u² = {lam_u**2:.6f}  (maintenant positif, hyperbolique normal)")

# Eigendirections rotate by π per turn (half-integer winding)
dtheta_dphi = 0.5

def theta_u(phi):
    return np.pi/2 + phi/2

def theta_s(phi):
    return phi/2

# Note: theta_u(2π) = π/2 + π = 3π/2 ≠ theta_u(0)
# The eigenvectors have retournementped!  This is the Möbius twist.
print(f"\nθ_u(0) = {theta_u(0):.4f} rad = {np.degrees(theta_u(0)):.1f}°")
print(f"θ_u(2π) = {theta_u(2*np.pi):.4f} rad = {np.degrees(theta_u(2*np.pi)):.1f}°")
print(f"Différence = {np.degrees(theta_u(2*np.pi) - theta_u(0)):.1f}°  (= 180° retournement → Möbius)")

λ_u = -1.395612
λ_s = -0.716531
λ_u · λ_s = 1.0000000000  (devrait être +1 for carte préservant l’aire)
Après 2 tours: λ_u² = 1.947734  (maintenant positif, hyperbolique normal)

θ_u(0) = 1.5708 rad = 90.0°
θ_u(2π) = 4.7124 rad = 270.0°
Différence = 180.0°  (= 180° retournement → Möbius)

[2]:

# ── Toroidal field model ─────────────────────────────────────────────────────
def BPhi(phi, RZ):
    """Toroidal field: R·B_φ = const."""
    return BPhi0 * R0 / RZ[0]

# ── A matrix at the fixed point ──────────────────────────────────────────────
def _eigvec_matrix(phi):
    return np.array([
        [np.cos(theta_u(phi)), np.cos(theta_s(phi))],
        [np.sin(theta_u(phi)), np.sin(theta_s(phi))],
    ])

def _A_matrix(phi):
    """Jacobian A(φ) of field direction g w.r.t. (R,Z) at the fixed point."""
    V = _eigvec_matrix(phi)
    # log(|λ|) / (2mπ) gives the per-radian growth rate
    mu_u = np.log(np.abs(lam_u)) / (2 * m * np.pi)
    mu_s = np.log(np.abs(lam_s)) / (2 * m * np.pi)
    Lam = np.diag([mu_u, mu_s])
    dV = np.array([
        [-dtheta_dphi * np.sin(theta_u(phi)), -dtheta_dphi * np.sin(theta_s(phi))],
        [ dtheta_dphi * np.cos(theta_u(phi)),  dtheta_dphi * np.cos(theta_s(phi))],
    ])
    return V @ Lam @ np.linalg.inv(V) + dV @ np.linalg.inv(V)

# ── φ-parameterised field direction g = R·B_pol/B_φ ─────────────────────────
def field_g_pol(phi, X_pol):
    """Field direction in (R,Z): g = A(φ) · (X - X_c) + 0 (fixed point has dX_c/dφ=0)."""
    Xc = np.array([R0, Z0])
    A = _A_matrix(phi)
    return A @ (X_pol - Xc)

# Verify: g on the fixed point is zero (it’s a FIXED point, not just periodic orbit)
g0 = field_g_pol(0.5, np.array([R0, Z0]))
print("g au point fixe (R0,Z0):", g0, "  (devrait être 0)")

# ── pyna-compatible field function ───────────────────────────────────────────
def pyna_field(rzphi):
    R, Z, phi = rzphi[0], rzphi[1], rzphi[2]
    X_pol = np.array([R, Z])
    g = field_g_pol(phi, X_pol)
    # Regularise near the fixed point to avoid division by zero
    gnorm2 = np.dot(g, g)
    dphi_dl = 1.0 / np.sqrt(R**2 + max(gnorm2, 1e-30))
    return np.array([g[0] * dphi_dl, g[1] * dphi_dl, dphi_dl])

print("Champ en un point voisin :")
print(pyna_field(np.array([R0 + 0.05, Z0, 0.0])))

g au point fixe (R0,Z0): [0. 0.]   (devrait être 0)
Champ en un point voisin :
[-0.00252555  0.0238027   0.95210808]

2. Calcul de DPm avec evolve_DPm_along_cycle#

[3]:

from pyna.topo.monodromy import evolve_DPm_along_cycle
from pyna.topo.toroidal_cycle import ToroidalPeriodicOrbitTrace as PeriodicOrbit

orbit = PeriodicOrbit(
    rzphi0=np.array([R0, Z0, 0.0]),
    period_m=m,
    trajectory=np.zeros((1, 3)),
    DPm=np.eye(2),
)

mono = evolve_DPm_along_cycle(
    field_func=pyna_field,
    orbit=orbit,
    dt_output=2 * np.pi / 500,
    rtol=1e-11, atol=1e-13,
)

print("DPm (monodromy matrix):")
print(mono.DPm)
print()
print("Valeurs propres:", mono.eigenvalues)
print("Attendu:   ", np.array([lam_u, lam_s]))
print()
print("Les deux valeurs propres sont NÉGATIVES - c’est le caractère selle de Möbius.")
print("Indice de stabilité Tr(DPm)/2 =", mono.stability_index,
      f" (|k| = {abs(mono.stability_index):.4f} > 1 → hyperbolique)")

DPm (monodromy matrix):
[[-7.16531311e-01 -1.74438498e-09]
 [ 1.74438440e-09 -1.39561242e+00]]

Valeurs propres: [-0.71653131 -1.39561242]
Attendu:    [-1.39561243 -0.71653131]

Les deux valeurs propres sont NÉGATIVES - c’est le caractère selle de Möbius.
Indice de stabilité Tr(DPm)/2 = -1.0560718675230398  (|k| = 1.0561 > 1 → hyperbolique)

[4]:

# ── Analytic check ───────────────────────────────────────────────────────────
# DPm_analytic = V(2π) · diag(λ_u, λ_s) · V^{-1}(0)
V_end = _eigvec_matrix(2 * m * np.pi)
V_start = _eigvec_matrix(0.0)
DPm_analytic = V_end @ np.diag([lam_u, lam_s]) @ np.linalg.inv(V_start)

print("DPm analytic:")
print(DPm_analytic)
print()
print("Erreur maximale:", np.max(np.abs(mono.DPm - DPm_analytic)))

DPm analytic:
[[ 7.16531311e-01  2.12494955e-16]
 [-8.77497776e-17  1.39561243e+00]]

Erreur maximale: 2.7912248489659737

3. Visualiser la torsion de Möbius dans la géométrie des variétés#

La variété stable d’une selle de Möbius est une bande demi-tordue en 3D : elle fait une fois le tour du tore mais inverse son orientation. Après deux tours, elle devient une bande régulière.

Nous dessinons les directions locales stable/instable e_s(φ), e_u(φ) à chaque φ le long de l’orbite pour voir la rotation d’un demi-tour.

[5]:

phi_plot = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)

# Eigendirection angles along one turn
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
axes[0].plot(phi_plot / np.pi, np.degrees(theta_u(phi_plot)) % 360, label='θ_u (unstable)', color='tomato')
axes[0].plot(phi_plot / np.pi, np.degrees(theta_s(phi_plot)) % 360, label='θ_s (stable)', color='steelblue')
axes[0].set_xlabel('φ / π')
axes[0].set_ylabel('Angle du vecteur propre (degrés)')
axes[0].set_title('Rotation des directions propres : demi-tour par orbite')
axes[0].legend()
axes[0].axvline(2, color='gray', linestyle='--', label='Fin de période')

# DX_pol components showing sign retournement at φ=2π
axes[1].plot(mono.phi_arr / np.pi, mono.DX_pol_arr[:, 0, 0], label='DX_pol[0,0]', color='steelblue')
axes[1].plot(mono.phi_arr / np.pi, mono.DX_pol_arr[:, 1, 1], label='DX_pol[1,1]', color='tomato')
axes[1].axhline(0, color='k', lw=0.5)
axes[1].axvline(2, color='gray', linestyle='--')
axes[1].set_xlabel('φ / π')
axes[1].set_title('DX_pol diagonal: note values at φ=2π (the DPm)')
axes[1].legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig("mobius_DX_pol.png", dpi=120)
plt.show()

[6]:

# ── 3D plot: the stable manifold band (Möbius strip) ─────────────────────────
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

nS = 30   # strip width samples
nPhi = 400
Phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, nPhi, endpoint=True)
s_vals = np.linspace(-0.25, 0.25, nS)  # displacement along stable direction

# Stable manifold: X_c + s · e_s(φ)
theta_s_arr = theta_s(Phi)  # angle of stable eigendirection at each φ
e_s_R = np.cos(theta_s_arr)  # (nPhi,)
e_s_Z = np.sin(theta_s_arr)

# Grid: [iS, iPhi]
R_strip = R0 + s_vals[:, None] * e_s_R[None, :]
Z_strip = Z0 + s_vals[:, None] * e_s_Z[None, :]
x_strip = R_strip * np.cos(Phi)[None, :]
y_strip = R_strip * np.sin(Phi)[None, :]

fig = plt.figure(figsize=(10, 7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

ax.plot_surface(x_strip, y_strip, Z_strip,
                alpha=0.5, color='steelblue', linewidth=0)

# The fixed point trajectory (a circle in the φ=0 plane → a point)
ax.scatter([R0], [0], [Z0], color='red', s=80, zorder=5, label='Point fixe')

# Unstable manifold band
theta_u_arr = theta_u(Phi)
e_u_R = np.cos(theta_u_arr)
e_u_Z = np.sin(theta_u_arr)
R_strip_u = R0 + s_vals[:, None] * e_u_R[None, :]
Z_strip_u = Z0 + s_vals[:, None] * e_u_Z[None, :]
x_strip_u = R_strip_u * np.cos(Phi)[None, :]
y_strip_u = R_strip_u * np.sin(Phi)[None, :]
ax.plot_surface(x_strip_u, y_strip_u, Z_strip_u,
                alpha=0.3, color='tomato', linewidth=0)

ax.set_xlabel('x [m]'); ax.set_ylabel('y [m]'); ax.set_zlabel('Z [m]')
ax.set_title('Selle de Möbius : bandes de variétés stable (bleu) et instable (rouge)')
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig("mobius_manifold_3d.png", dpi=120)
plt.show()

print()
print("Remarque : chaque bande effectue une DEMI-TORSION sur 2π.")
print("La bande ne se referme avec la même orientation qu'après DEUX tours.")


Remarque : chaque bande effectue une DEMI-TORSION sur 2π.
La bande ne se referme avec la même orientation qu’après DEUX tours.

4. Monodromie à deux tours : retour au cas hyperbolique normal#

Si nous calculons DPm pour 2 tours (m=2), les signes négatifs s’annulent et nous retrouvons un point fixe hyperbolique normal à valeurs propres positives.

[7]:

orbit_2turn = PeriodicOrbit(
    rzphi0=np.array([R0, Z0, 0.0]),
    period_m=2,   # two tours
    trajectory=np.zeros((1, 3)),
    DPm=np.eye(2),
)

mono_2 = evolve_DPm_along_cycle(
    field_func=pyna_field,
    orbit=orbit_2turn,
    dt_output=2 * np.pi / 500,
    rtol=1e-11, atol=1e-13,
)

print("Valeurs propres DPm à 1 tour :", mono.eigenvalues,   "  (négatif)")
print("Valeurs propres DPm à 2 tours :", mono_2.eigenvalues, "  (positif, = λ²)")
print()
print("Valeurs propres attendues à 2 tours :", np.array([lam_u**2, lam_s**2]))
print("Correspondance :", np.allclose(sorted(np.abs(mono_2.eigenvalues)),
                             sorted([lam_u**2, lam_s**2]), rtol=1e-4))

Valeurs propres DPm à 1 tour : [-0.71653131 -1.39561242]   (négatif)
Valeurs propres DPm à 2 tours : [0.51341713 1.94773399]   (positif, = λ²)

Valeurs propres attendues à 2 tours : [1.94773404 0.51341712]
Correspondance : True

5. Résumé#

Propriété

Valeur

Point fixe

\((R_0, Z_0) = (1.0, 0.0)\)

Période orbitale

\(m = 1\) tour

Valeurs propres de DPm

\(\lambda_u = -e^{+1/3}\), \(\lambda_s = -e^{-1/3}\)

Caractère

selle de Möbius (inverse-hyperbolique)

Rotation des vecteurs propres

\(\Delta\theta = \pi\) par tour (demi-torsion)

Carte à deux tours

hyperbolique normale avec \(\lambda^2 = e^{\pm 2/3}\)

Idée clé : le signe des valeurs propres de DPm encode le type topologique des variétés invariantes. Une seule lettre M le masque ; DPm indique explicitement qu’il s’agit de la dérivée de la carte de Poincaré sur une période complète, dont les propriétés spectrales déterminent la topologie locale.

Étapes suivantes :

  • Voir monodromy_xcycle_analytic.ipynb pour le cas d’orbite elliptique

  • Voir pyna/notebooks/research/ pour des applications de recherche avec d’autres équilibres